PERMUTACIONES

1. Son de n elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos siguiendo las siguientes reglas:

• Entran todos los elementos
• Si importa el orden 
• No se repiten los elementos

Si el ejercicio que se plantea sigue esas tres reglas, la formula a aplicar es:

Pn=n!

Donde "n" es el numero de elementos que vana participar en las agrupaciones.

Ejercicios

1: ¿Cuantos numeros de 3 cifras diferentes se pueden formar con los digitos 1,2 y 3?

Pn=3!                     P3=3!                                       123

                              P3=3*2*1=6                             132

                                                                                213

                                                                                231

                                                                                312

                                                                                321

2:¿Cuantos grupos diferentes de 3 vocales se pueden formar sin que se repitan los elementos usando las siguientes vocales?

P3=3!                  P3=3*2*1                                  A,E,O

                                         P3=6                                                               A,O,E

                                                                              E,A,O

                                                                              E,O,A

                                                                              O,A,E

                                                                              O,E,A

3:¿Cuantos grupos de 4 elementos se pueden formar con los digitos si no se repiten los elementos?

P4=4!                                3579             3597

P4=4*3*2*1                     3759             3795             3

P4=24                               3957             3975

                                         5379             5397

                                         5739             5793              5

                                         5937             5973

                                         7359             7395

                                         7539             7593              7

                                         7935             7953

                                         9357             9375

                                         9537             9573              9

                                         9735             9753

 4:Antiguamente los barcos se comunicaban entre si utilizando banderas de diferentes colores colocandolas de manera ordenada en diferenes posiciones. ¿Cuantos mensajes distintos se podran enviar con las banderas en los colores azul, rojo, verde y negro? Indique cuantos mensajes serian si se le añade otra bandera cafe.

-En este caso no deberan mostrarselas agrupaciones-

P4=4!                                                P5=5!

P4=4*3*2*1                                     P5=5*4*3*2*1

P4=24 mensajes                               P5=120 mensajes

PERMUTACIONES CON REPETICION

*Se llama permutaciones con repeticion a los diferentes grupos de elementos que se forman usando "n" elementos donde el primer elemento se repite n veces, el segundo tambien se repite n veces y asi consecutivamente hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas:

           1:Entran todos los elementos.
           2:Si importa el orden.
           3:Si se repiten los elementos.

*La formula para realizar el calculo de las permutaciones con repeticion es la siguiente:

PRnabc = Pn

                 a!b!c!

1:Con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4 y 4 ¿Cuantos numeros de nueve cifras se pueden formar? n=9, a=3, b=4, c=2

PR93,4,2 = P9!

            3! 4! 2!

PR93,4,2 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

              3*2*1   4*3*2*1    2*1

PR93,4,2 = 362,880

               6*24*2

PR93,4,2 = 362,880

                   288

PR93,4,2 = 1260 

 Numeros de nueve cifras o permutaciones

PERMUTACIONES CIRCULARES

*Se utiliza cuando los elementos se van a ordenar en circulo, por ejemplo los comenzales en una mesa de modo que el primer elemento que se sitúa en la mesa, determina el principio y el fin de la lista.

La formula es:

PCn*1 = n!

1:¿De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas al rededor de una mesa redonda?

PC8-1 = 7!

PC7   = 7*6*5*4*3*2*1

PC7  = 5,040 Formas de sentarse en la mesa

Actividades de permutaciones

1:¿Cuantas palabras se pueden formar de 4 letras con la palabra AXEL? 

Escriba el listado de las palabras que se pueden formar.

P4 = 4!                       A          X          E            L
P4 = 4*3*2*1                     axel       xale       exal       lexa
P4 = 24                    alxe       xael       exla       leax
                                aelx       xeal       elax       laxe
                                alex       xela       elxa       laex
                                axle       xlea       eaxl       lxea
                                aexl       xlae       ealx       lxae

2:¿Cuantas palabras diferentes de 5 letras se pueden formar con la palabra libro?

P5 = 5!
P5 = 5*4*3*2*1
P5 = 120 Palabras

3:¿Cuantas palabras diferentes de 6 letras se pueden formar con la palabra tratar?

PRtra = 6!                                                    PRtra = 720
       2! 2! 2!                                                               8

PRtra = 6*5*4*3*2*1                                                           PRtra = 90
          2*1   2*1    2*1


4:¿Cuantas palabras de 10 letras se pueden formar usando la palabra termometro?

P10222 = 10!
       2! 2! 2! 2! 2!

P10222 = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
            2*1    2*1     2*1      2*1      2*1

P10222 = 1,814,400
                    16

P10222 = 113,400

Principios fundamentales del conteo

*La enumeración o conteo puede parecer un proceso obvio que u  estudiante aprende a estudiar aritmética por primera vez. Pero luego según parece se presta poca atención en lo que se refiere a un desarrollo más amplio del conteo con forme al estudiante pasa áreas mas difícil de las matemáticas, como el álgebra, geometría, trigonometría y el calculo. En consecuencia deberá servir como advertencia acerca del conteo.

*La enumeración no termina con la aritmética:
también en aplicaciones en áreas como la teoría de códigos como la contabilidad y estadísticas.

Reglas de la suma y el producto

1:Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas mientras que una tarea puede realizarse de "n" formas y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas puede utilizarse cualquiera de ellas.

2:Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda y si existen "m" resultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados existen "n" resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total que se puede realizar en el orden dado.

TEORÍA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONJUNTO: 

• Que se hace simultáneamente a otra cosa o con un fin común.
• Agrupación de personas, animales o cosas considerados como un todo homogéneo, sin distinguir sus partes.
• En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. 

      SUBCONJUNTOS :

• Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.
• En las matemáticas, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A «está contenido» dentro de B.
• Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos, personas… Por ejemplo, este conjunto contiene frutas:

   DIAGRAMAS DE VENN:

Descripción

• Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones de cosas por medio de líneas cerradas.
• Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. Muchas personas los vieron por primera vez en la escuela cuando estudiaron Matemática o Lógica, ya que los diagramas de Venn se convirtieron en una parte del plan de estudio de la "nueva Matemática" en la década de 1960.
• Un Diagrama de Venn es una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.

    UNIÓN

• En la teoría de conjuntos, la unión de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales.

INTERSECCIÓN

• En teoría de conjuntos, la intersección de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. 

COMPLEMENTO

• El complemento de un conjunto o conjuntocomplementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal.

Ley Distributiva

 La Ley Distributiva expresa que se obtiene la misma respuesta cuando multiplicas un conjunto de números por otro número que cuando se hace cada multiplicación por separado. Ejemplo: (2 + 4) × 5 = 2×5 + 4×5. Como se puede ver al realizar los cálculos 6 × 5 = 30 y 10 + 20 = 30. Entonces, el "2+4" puede ser "distribuido" entre los "por 5" en 2 por 5 y 4 por 5. 

Leyes de De Morgan

Descripción

• En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan​​​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Diferencia de conjuntos

Descripción

• En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto.

Diferencia simétrica

Descripción

• En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

Teoría de conjuntos

• La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.​

Lógica matemática

Descripción

• La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística, ​ es el estudio matemático de la lógica y su aplicación a otras áreas de la matemática y la ciencia. 

Álgebra de Boole

Descripción

• El álgebra de Boole, también llamada álgebra booleana, en electrónica digital, informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas.

TORRES DE HANOI

¿QUE ES?
Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas.¹​ Este juego de mesa individual consiste en un número de discos perforados de radio creciente que se apilan insertándose en uno de los tres postes fijados a un tablero. El objetivo del juego es trasladar la pila a otro de los postes siguiendo ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos.
¿COMO SE RESUELVE?
La fórmula para encontrar el número de movimientos necesarios para transferir n discos desde un poste a otro es: 2ⁿ - 1

El juego, en su forma más tradicional, consiste en tres postes verticales. En uno de los postes se apila un número indeterminado de discos perforados por su centro (elaborados de madera), que determinará la complejidad de la solución. Por regla general se consideran siete discos. Los discos se apilan sobre uno de los postes en tamaño decreciente de abajo a arriba. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio -desde la base del poste hacia arriba- en uno de los postes, quedando los otros dos postes vacíos. El juego consiste en pasar todos los discos desde el poste ocupado (es decir, el que posee la torre) a uno de los otros postes vacíos. Para realizar este objetivo, es necesario seguir tres simples reglas:

1. Solo se puede mover un disco cada vez y para mover otro los demás tienen que estar en postes.
2. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno más pequeño que él mismo.
3. Solo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada poste.

Existen diversas formas de llegar a la solución final, todas ellas siguiendo estrategias diversas.

SERIE DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci, en ocasiones también conocida como secuencia de Fibonacci o incorrectamente como serie de Fibonacci, es en sí una sucesión matemática infinita. Consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci).
¿Como es?

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

• El 2 se calcula sumando (1+1)
• Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
• Y el 5 es (2+3),
• ¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

EJEMPLO:

triangulo de pascal

¿Que es?
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.
'¿como se hace?

Cada linea se construye a partir de la anterior.

Con excepción de los números 1, que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene por encima.

aplicaciones para un triangulo de pascal

Coeficientes binomiales

Los números en la línea n del Triángulo de Pascal enlistan los coeficientes de la expansión de (a + b)^n.

Combinaciones

Las combinaciones son una operación básica en Combinatoria, la rama de la matemática que involucra contar grupos de elementos discretos. Por ejemplo, el número de manos posibles de cinco cartas de una baraja de 52 es 52C5

Probabilidad

En una serie de n resultados binomiales, como tener n niños, el número de resultados en el que uno de los eventos de los binomios ocurra k veces, es igual a la entrada k-ésima entrada en la línea n del triángulo de Pascal.

Series de números

En una serie de n resultados binomiales, como tener n niños, el número de resultados en el que uno de los eventos de los binomios ocurra k veces, es igual a la entrada k-ésima entrada en la línea n del triángulo de Pascal.

ejercicios de diagrama de arbol

https://es.scribd.com/document/401750477/Diagrama-de-Arbol

Cracteristicas de los matematicas discretas

Las matemáticas discretas tienen diferentes funciones y características,puesto que son elementales para la computación.

CARACTERISTICAS:

1. Estudia de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables
2. No es posible manejar las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas, como se puede en el cálculo. 
3. Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que se pueden contar por separado; es decir, sus variables son discretas o digitales, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas; es decir, sus variables son continuas o analógicas.
4. Se puede poner en correspondencia biunívoca con los números enteros
5. Estudia procesos con conjuntos contables o numerables, ya sean finitos o infinitos.
   Su entorno de trabajo son los números naturales o los enteros:

   N = { 1,2,3,... }

   Z = { ..., -3,-2,-1,0,1,2,...}

6. Unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas.
7. Proporciona,  algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa,

¿Que son las matemáticas discretas?

1-¿Que son las matemáticas discretas?

Una función definida en un intervalo de enteros se llama secuencia. Una secuencia puede ser una finita o infinita. Tal función discreta puede ser definida explícitamente por una lista (si su dominio es finito), o por una fórmula para su término n-esimo, o también puede ser dada implícitamente por una relación de recurrencia o ecuación de diferencia.

2-¿Que son las matemáticas discretas?

Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.

Son fundamentales para la ciencia de la computación, porque solo son computables las funciones de conjuntos numerables.

La clave en matemáticas discretas es que no es posible manejar las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas, como se puede en el cálculo.  Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que se pueden contar por separado; es decir, sus variables son discretas o digitales, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas; es decir, sus variables son continuas o analógicas.

3-¿Que son las matemáticas discretas?

Matemáticas discretas es un concepto amplio que incluye varias ramas de la matemática actual, como Ciencias Computacionales, Teoría de Números, Teoría de Gráficas, Investigación de Operaciones. En general, puede decirse que Matemáticas Discretas es el área de las matemáticas que se ocupa del estudio de estructuras formadas por un número finito de elementos o a lo más un número infinito numerable, es decir que se puede poner en correspondencia biunívoca con los números enteros,se entiende la Matemática Discreta como contrapuesta a las matemáticas que se ocupan del continuo, como el Cálculo Diferencial, por ejemplo, donde los conceptos de continuo y límite son fundamentales

4-¿Que son las matemáticas discretas?

Matemática Discreta. Parte de la Matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos y las formalizaciones que dependen de éstos.

En oposición a la matemática continua, que se encarga del estudio de conjuntos infinitos, la matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables.

Las matemáticas discretas, a diferencia del Cálculo infinitesimal, estudia procesos con conjuntos contables o numerables, ya sean finitos o infinitos.

Su entorno de trabajo son los números naturales o los enteros:

N = { 1,2,3,... }

Z = { ..., -3,-2,-1,0,1,2,...}

Esto a raíz de que los objetos en matemáticas discretas son contables, ya sean finitos o infinitos, es decir, se pueden contar de uno en uno por separado.

5-¿Que son las matemáticas discretas?

La matemática discreta es la parte de las matemáticas que estudia objetos discretos. Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades no es sencillo pero podemos apelar a ciertos ejemplos matemáticos conocidos y contraponerlo al concepto de continuo que es la idea central del curso de Bases de Matemáticas.

La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas,La matemática discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa,... así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos

BIBLIOGRAFIA 

1- https://prezi.com/tcl9pttnxkxn/que-son-las-matematicas-discretas/

2- https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_discretas

3-http://web.uaemex.mx/fciencias/MainNyE/2016/Noticias/Cronica/Sala%20de%20Talleres.pdf

4- https://www.ecured.cu/Matem%C3%A1tica_Discreta

5- https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080804155502AAxuq2i&guccounter=1